5. Дана трапеция ABCD (AD || BC), диагонали трапеции пересекаются в точке О, Ѕвос = 3 см², SCOD = 6 см². Най- BOC дите площадь трапеции ABCD.

Ответ: 27 см²

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). Они подобны, так как \(BC \parallel AD\).

2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\]

3. \(S_{BOC} = 3\) см², \(S_{COD} = 6\) см².

4. Так как высоты треугольников \(\triangle BOC\) и \(\triangle COD\), проведенные из вершины \(C\), равны, то отношение их площадей равно отношению их оснований:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{COD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

5. Коэффициент подобия \(k = \frac{BO}{OD} = \frac{1}{2}\).

6. Тогда \(S_{AOD} = S_{BOC} \cdot k^2 = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12\) см².

7. Треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle ABO\) имеют общую высоту, проведенную из вершины \(B\), поэтому отношение их площадей равно отношению длин их оснований:

\[\frac{S_{BOC}}{S_{ABO}} = \frac{OC}{OA}\]

8. Аналогично, для треугольников \(\triangle COD\) и \(\triangle AOD\):

\[\frac{S_{COD}}{S_{AOD}} = \frac{OC}{OA}\]

9. Следовательно, \(\frac{S_{BOC}}{S_{ABO}} = \frac{S_{COD}}{S_{AOD}}\\[\frac{3}{S_{ABO}} = \frac{6}{12}\\[S_{ABO} = \frac{3 \cdot 12}{6} = 6\) см².

10. Площадь \(\triangle CDO = \triangle ABO = 6\) см².

11. Площадь трапеции \(ABCD\) равна сумме площадей треугольников \(\triangle BOC\), \(\triangle COD\), \(\triangle AOD\) и \(\triangle ABO\):

\[S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} + S_{ABO} = 3 + 6 + 12 + 6 = 27\) см².

Ответ: 27 см²