4. На рисунке 4 АМ = 5 см, МВ = 10 см, АС = 12 см. Найдите площадь четы- рехугольника АМКС.

Ответ: 30 см²

Решение:

1. Площадь треугольника \(\triangle ABC\) равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\]

Так как \(AM = 5\) см и \(MB = 10\) см, то \(AB = AM + MB = 5 + 10 = 15\) см.

2. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMK\) и \(\triangle ABC\). У них \(\angle A\) - общий, и \(\angle AKM = \angle ACB = 90^\circ\). Значит, эти треугольники подобны по двум углам.

3. Запишем отношение сторон в подобных треугольниках:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{15} = \frac{AK}{12}\]

Отсюда выразим \(AK\):

\[AK = \frac{5 \cdot 12}{15} = \frac{60}{15} = 4\]

4. Тогда \(KC = AC - AK = 12 - 4 = 8\) см.

5. Найдем площадь треугольника \(\triangle AMK\):

\[S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\]

6. Площадь треугольника \(\triangle ABC\) равна:

Так как \(\frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}\), то \(\frac{4}{12} = \frac{MK}{BC}\), значит, \(BC = 3MK\)

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3MK = 18MK\]

Так как \(\frac{AM}{AB} = \frac{MK}{BC}\), то \(\frac{5}{15} = \frac{MK}{BC}\), значит, \(BC = 3MK\)

Найдем MK из площади \(\triangle AMK\):

\[S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot MK = 10\] \[MK = \frac{2 \cdot 10}{5} = 4\]

Значит, \(BC = 3 \cdot 4 = 12\) см.

7. Найдем площадь треугольника \(\triangle ABC\):

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\]

8. Площадь четырехугольника \(AMKC\) равна разности площадей треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle MBK\). Площадь \(\triangle MBK = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot MB\), \(BK\) найдем из подобия: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}\), то \(\frac{5}{15} = \frac{MK}{BC}\), отсюда \(MK = 4\), значит \(\frac{5}{15} = \frac{4}{BC}\), то \(BC = 12\)

Так как \(AC = 12\), то \(\frac{AK}{12} = \frac{1}{3}\), значит \(AK = 4\), тогда \(S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\), \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90\). \(S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{MBK}\)

9. Найдем площадь четырехугольника \(AMKC\):

\[S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{MBK} = 72 - 42 = 30\]

Либо найдем \(S_{AMKC} = S_{AMK} + S_{MKC} = 10 + 20 = 30\)

Ответ: 30 см²