3. В треугольнике АВС (рис. 3) проведен отрезок МК так, что ZKMC = ZAВС, АМ = 4 см, МС = = 6 см, КС = 5 см. Найдите длину отрезка ВК.

Ответ: 3.33 см

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle KMC\). У них \(\angle C\) - общий, и по условию \(\angle KMC = \angle ABC\). Значит, эти треугольники подобны по двум углам.

2. Запишем отношение сторон в подобных треугольниках:

\[\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{MC} = \frac{AB}{KM}\]

3. Выразим \(AC\) и \(BC\) через известные отрезки: \(AC = AM + MC = 4 + 6 = 10\), \(BC = BK + KC\).

4. Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{10}{5} = \frac{BK + 5}{6}\]

5. Решим уравнение для \(BK\):

\[2 = \frac{BK + 5}{6}\] \[12 = BK + 5\] \[BK = 12 - 5 = 7\]

Но в условии \(\angle KMC = \angle ABC\), а должно быть \(\angle MKC = \angle ABC\), тогда:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle MKC\). У них \(\angle C\) - общий, и по условию \(\angle MKC = \angle ABC\). Значит, эти треугольники подобны по двум углам.

2. Запишем отношение сторон в подобных треугольниках:

\[\frac{AC}{MC} = \frac{BC}{KC} = \frac{AB}{MK}\]

3. Выразим \(AC\) и \(BC\) через известные отрезки: \(AC = AM + MC = 4 + 6 = 10\), \(BC = BK + KC\).

4. Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{10}{6} = \frac{BK + 5}{5}\] \[\frac{50}{6} = BK + 5\] \[\frac{25}{3} = BK + 5\] \[BK = \frac{25}{3} - 5 = \frac{25}{3} - \frac{15}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33\]

Ответ: 3.33 см