6. Дано: ΔABC Найти: АВ

Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C = 135 градусов, сторона BC = 6 см.

Проведем высоту AH к стороне BC. Рассмотрим треугольник AHC - прямоугольный, угол ACH = 180 - 135 = 45 градусов. Значит, угол CAH = 180 - 90 - 45 = 45 градусов. Следовательно, треугольник AHC - равнобедренный, AH = CH.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол B = 135 градусов.

В прямоугольном треугольнике AHC:

$$AH = CH = \frac{AC}{\sqrt{2}}$$

В треугольнике ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2, где BH = BC + CH.

AC = 6 см, угол C = 135 градусов. Угол B = 135 градусов. Такого треугольника не существует, так как сумма углов треугольника не может быть больше 180 градусов.

Угол ACB = 135 градусов. Значит, угол между AC и BC = 45 градусов.

Треугольник ABC - прямоугольный. Угол C = 90 градусов.

Внешний угол при вершине B = 135 градусов. Внутренний угол при вершине B = 180 - 135 = 45 градусов.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Угол C = 90 градусов, угол B = 45 градусов, следовательно, угол A = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный. AC = BC = 6 см.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$AB^2 = 6^2 + 6^2$$

$$AB^2 = 36 + 36$$

$$AB^2 = 72$$

$$AB = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$

Ответ: $$6\sqrt{2}$$ см