Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы ВЕ.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник DBC. Известно, что ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см.

Найдем угол ∠BCD: ∠BCD = 180° - 90° - 60° = 30°.

Используем тригонометрические функции для нахождения BC:

$$tg(∠BDC) = \frac{BC}{BD}$$

$$BC = BD * tg(60°) = 4 * \sqrt{3}$$

Так как \(\sqrt{3} ≈ 1.732\), то:

$$BC ≈ 4 * 1.732 = 6.928$$

Значит, длина отрезка BC заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Найдем длину медианы BE. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Сначала найдем гипотенузу DC.

$$cos(∠BDC) = \frac{BD}{DC}$$

$$DC = \frac{BD}{cos(60°)} = \frac{4}{0.5} = 8$$

Теперь найдем длину медианы BE:

$$BE = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Ответ: а) между 6 и 7, б) BE = 4 см