Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD.

Дано: Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. ΔABC и ΔADC - равнобедренные прямоугольные треугольники, ∠B = ∠D = 90°.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

Так как треугольники ABC и ADC равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами B и D соответственно, то AB = BC и AD = DC.

Рассмотрим углы. ∠BAC = ∠BCA = 45° (так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный).

Аналогично, ∠DAC = ∠DCA = 45° (так как треугольник ADC равнобедренный и прямоугольный).

Тогда ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 45° + 45° = 90° и ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 45° + 45° = 90°.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов ∠BAD и ∠CDA равна 90° + 90° = 180°. Это означает, что прямые AB и CD параллельны, так как сумма односторонних углов равна 180°.

Следовательно, AB || CD.