4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, <MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM, где ∠ЕРМ = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см.

• Катет MP лежит против угла 30°, значит, MP = ME / 2 = 10 / 2 = 5 см.
• По теореме Пифагора, EP = √(ME² - MP²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 см.
• √75 ≈ 8,66.

Следовательно, длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM. Т.к. ∠ЕРМ = 90°, точка D - середина стороны EM (т.к. PD - медиана), то PD = EM / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Ответ: а) 8 и 9, б) 5 см.