3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равносторонние. Доказать: АВ || CD.

Дано: Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно AC. ΔABC и ΔADC - равносторонние.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

Так как треугольники ABC и ADC равносторонние, то все их углы равны 60°.

∠BAC = ∠BCA = ∠CAD = ∠DCA = 60°.

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 60° = 120°.

∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 60° + 60° = 120°.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠ABC + ∠CDA + ∠BAD + ∠BCD = 60° + 60° + 120° + 120° = 360°.

∠BCA = ∠CAD = 60°. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AB || CD.

Что и требовалось доказать.