Дано: ABCD — трапеция. Доказать: SABCD = AD + BC. CH. 2 Доказательство. 1) Проведём высоту СН и отрезок СТ, параллельный стороне АВ (выполните второе построение).

Дано: ABCD - трапеция.

Доказать: $$S_{ABCD}=\frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$

Доказательство:

1) Проведём высоту CH и отрезок CT, параллельный стороне AB (выполните второе построение).

2) Рассмотрим четырёхугольник ABCT. По построению AB || CT и BC || AT. Следовательно, ABCT – параллелограмм.

3) $$S_{ABCD} = S_{ABCT} + S_{CDT}$$

4) Площадь параллелограмма ABCT равна произведению его основания на высоту: $$S_{ABCT} = BC \cdot CH$$

5) Рассмотрим треугольник CDT. Его площадь равна половине произведения основания DT на высоту CH: $$S_{CDT} = \frac{1}{2} DT \cdot CH$$

6) Так как AD = AT + TD и AT = BC (противоположные стороны параллелограмма), то TD = AD - AT = AD - BC.

7) Выразим площадь трапеции ABCD:

$$S_{ABCD} = BC \cdot CH + \frac{1}{2} (AD - BC) \cdot CH$$

$$S_{ABCD} = BC \cdot CH + \frac{1}{2} AD \cdot CH - \frac{1}{2} BC \cdot CH$$

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CH + \frac{1}{2} AD \cdot CH$$

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.