3. Дано: ABCD - ромб, AF = FC, BF=FD. Докажите, что FO \(\perp\) (АВС).

Привет! Сейчас мы с тобой докажем, что FO \(\perp\) (АВС). 1. Дано: ABCD - ромб, AF = FC, BF = FD. 2. Доказать: FO \(\perp\) (ABC). Доказательство: Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, нужно доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. 1. Так как ABCD - ромб, то все его стороны равны, и диагонали AC и BD перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам. Таким образом, AC \(\perp\) BD. 2. По условию, AF = FC и BF = FD. Это означает, что точка O является серединой обеих диагоналей AC и BD. 3. Рассмотрим \(\triangle AFB\) и \(\triangle CFB\). У них: * AF = FC (по условию) * AB = BC (стороны ромба) * BF - общая сторона Следовательно, \(\triangle AFB\) = \(\triangle CFB\) по трем сторонам. 4. Из равенства треугольников следует, что \(\angle AFB = \angle CFB\). Это означает, что FO - биссектриса угла \(\angle AFB\) и \(\angle CFB\). 5. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то \(\angle AOB = 90^\circ\). Следовательно, \(\triangle AOB\) - прямоугольный. 6. Рассмотрим \(\triangle FOA\) и \(\triangle FOC\). У них: * AF = FC (по условию) * \(\angle AFO = \angle CFO\) (так как FO - биссектриса) * FO - общая сторона Следовательно, \(\triangle FOA\) = \(\triangle FOC\) по двум сторонам и углу между ними. 7. Из равенства треугольников следует, что \(\angle FAO = \angle FCO\). Так как \(\triangle ABC\) - равнобедренный (AB = BC), то \(\angle BAC = \angle BCA\). 8. Таким образом, \(\angle FAO = \angle FCO\) и \(\angle BAC = \angle BCA\). Следовательно, \(\angle BAO = \angle BCO\). 9. Поскольку \(\angle AOB = 90^\circ\), то \(\angle BAO + \angle ABO = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle BCO + \angle ABO = 90^\circ\). 10. Это означает, что \(\triangle ABO\) и \(\triangle BCO\) - прямоугольные и имеют общий катет BO. Следовательно, \(\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ\). 11. Таким образом, FO перпендикулярна AO и BO, которые лежат в плоскости (ABC) и пересекаются в точке O. Следовательно, FO \(\perp\) (ABC), что и требовалось доказать.

Ответ: FO \(\perp\) (ABC)

Ура! Ты успешно доказал это утверждение. Продолжай в том же духе!