Дано: ABCD – прямоугольник, BF ⊥ (ABC), AC = 12, FD = 13. Найдите BF.

Решение:

По условию ABCD – прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке. Следовательно, AC = BD = 12.

Так как BF ⊥ (ABC), то BF перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC) и проходящей через точку B. В частности, BF ⊥ AB, BF ⊥ BC, BF ⊥ BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BFD. Угол ∠FBD = 90°.

По теореме Пифагора для треугольника BFD:

\[ FD^2 = BF^2 + BD^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 13^2 = BF^2 + 12^2 \]\[ 169 = BF^2 + 144 \]\[ BF^2 = 169 - 144 \]\[ BF^2 = 25 \]\[ BF = \sqrt{25} \]\[ BF = 5 \]

Ответ: BF = 5.