1. Дано: АО = ВO, CO = DO, CO = 5 см, ВО = 3 см, BD = 4 см (рис. 2.212). Найти: Периметр ДСАО.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Так как по условию AO = BO, CO = DO, то четырехугольник ABCD - параллелограмм (если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм).

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, АО = ОВ = 3 см, а ОС = OD = 5 см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. У параллелограмма противоположные стороны равны. Следовательно, АD = BC и AB = CD.

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. У них AO = BO, CO = DO (по условию). ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы. Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AD = BC.

Так как четырехугольник ABCD - параллелограмм, то AD = BC. Так как треугольники AOD и BOC равны, то AD = BC.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = BO, CO = DO (по условию). ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AB = CD.

Так как четырехугольник ABCD - параллелограмм, то AB = CD. Так как треугольники AOB и COD равны, то AB = CD.

Из условия BD = 4 см, BO = 3 см, то OD = OC = 5 см, тогда DC = √(OD² + OC²) = √(5² + 5²) = √50 = 5√2

Из условия BD = 4 см, BO = 3 см, то AO = ОВ = 3 см, тогда AB = √(AO² + OB²) = √(3² + 3²) = √18 = 3√2

Периметр параллелограмма ABCD равен P = AB + BC + CD + AD = 2 * (AB + CD) = 2 * (3√2 + 5√2) = 2 * 8√2 = 16√2 см.

Ответ: 16√2 см