1. Дано: А=В, CO-4, DO-6, AO=5. Найти: а) ОВ; б) AC:BD; B) SAOC:SBOD.

а) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, углы А и В равны по условию. Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$. Подставим известные значения: $$ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$. Решим уравнение относительно ВО: $$ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 $$.

б) $$AC = AO + OC = 5 + 4 = 9$$. $$BD = BO + OD = 7,5 + 6 = 13,5$$. Тогда $$ \frac{AC}{BD} = \frac{9}{13,5} = \frac{90}{135} = \frac{2}{3}$$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $$k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7,5} = \frac{2}{3}$$. Тогда $$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: а) 7,5; б) 2/3; в) 4/9