1.Дано: А=В, СO=4, DO=6, AO=5. Найти: а) ОВ; б) AC:BD; B) SAOC: SBOD.

Решение:

a) Рассмотрим треугольники АОВ и COD. Угол AOB = углу COD (как вертикальные), угол OAB = углу OCD (по условию A=B). Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорция: AO/CO = DO/BO. Подставим известные значения: 5/4 = 6/BO. Решим уравнение: BO = (6*4)/5 = 4,8.

б) AC = AO + OC = 5 + 4 = 9. BD = BO + OD = 4.8 + 6 = 10.8. AC:BD = 9:10.8 = 5:6.

в) Треугольники AOD и BOC подобны, так как подобны треугольники AOB и COD. Следовательно, \(S_{AOD}\) / \(S_{BOC}\) = (AD/BC)^2. \(S_{AOD}\) = 45. AD/BC = AO/CO = 5/4. \(S_{BOC}\) = \(S_{AOD}\) / (AD/BC)^2 = 45 / (5/4)^2 = 45 * (16/25) = 28.8. Треугольники AOD и AOB имеют общую высоту, проведенную из вершины A. \(S_{AOD}\) / \(S_{AOB}\) = OD/OB = 6/4.8 = 5/4. \(S_{AOB}\) = \(S_{AOD}\) / (OD/OB) = 45 * (4/5) = 36. \(S_{AOC}\) / \(S_{BOC}\) = AO/BO = 5/4.8 = 25/24. \(S_{AOC}\) = \(S_{BOC}\) / (AO/BO) = 28.8 * (25/24) = 30. \(S_{AOC}\) / \(S_{BOD}\) = 30/36 = 5/6.

Ответ: а) 4,8; б) 5:6; в) 5/6