Дано: АВСD- квадрат. Найти МК.

Рассмотрим решение задачи №1:

Так как $$ABCD$$ - квадрат, то все его стороны равны, и все углы равны $$90^\circ$$. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Так как $$O$$ - точка пересечения диагоналей квадрата, то $$OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$MOC$$ угол $$MCO = 60^\circ$$, $$MC = 4$$. Тогда:

$$OC = MC \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Следовательно, $$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 2$$, откуда $$a = \frac{2\cdot 2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$.

Рассмотрим треугольник $$KDC$$. $$KD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}a = \sqrt{2}$$. $$DC = a = 2\sqrt{2}$$.

Тогда $$KC = \sqrt{KD^2 + DC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+8} = \sqrt{10}$$.

Рассмотрим треугольник $$MKC$$.

По теореме косинусов:

$$MK^2 = MC^2 + KC^2 - 2 \cdot MC \cdot KC \cdot \cos \angle MCK$$

Угол $$MCK$$ равен $$60^\circ$$. Следовательно,

$$MK^2 = 4^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos 60^\circ = 16 + 10 - 8 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{1}{2} = 26 - 4\sqrt{10}$$ $$MK = \sqrt{26-4\sqrt{10}}$$

Ответ: $$MK = \sqrt{26-4\sqrt{10}}$$