Дано: О - центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, AD=BC, CD=9, AB=16, ME=10. Найти ОМ.

Рассмотрим решение задачи №5:

Так как окружность вписана в трапецию $$ABCD$$, а $$AD=BC$$, то это равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны, то есть $$AD+BC = AB+CD$$. Поскольку $$AD=BC$$, то $$2AD=AB+CD$$, отсюда $$AD = \frac{AB+CD}{2}$$. Подставляем значения $$AB=16$$ и $$CD=9$$, тогда $$AD = \frac{16+9}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$$.

Высота трапеции $$h$$ равна диаметру вписанной окружности. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины $$C$$ на основание $$AB$$, делит его на отрезки $$AE$$ и $$EB$$. $$AE = \frac{AB-CD}{2} = \frac{16-9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADE$$, где $$AD=12.5$$ и $$AE=3.5$$. Тогда высота $$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{12.5^2 - 3.5^2} = \sqrt{156.25 - 12.25} = \sqrt{144} = 12$$. Следовательно, диаметр окружности равен 12, а радиус равен 6.

Из условия известно $$ME = 10$$. Так как $$O$$ - центр окружности и $$OE$$ - радиус, то $$OE=6$$. Тогда $$OM = ME - OE = 10 - 6 = 4$$.

Ответ: $$OM = 4$$