Дано: BH = 4 см. Найти: AH. (по рисунку 7)

В треугольнике ABC угол BHC = 90°. Угол HBC = 60°. Следовательно, угол BCH = 180° - 90° - 60° = 30°. Так как синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то sin(60°) = CH / BC, или CH = BC * sin(60°). Cos(60) = BH / BC, следовательно, BC = BH / cos(60°). cos(60°) = 1/2, следовательно, BC = 4/(1/2) = 8. Треугольник BHC - прямоугольный, следовательно, CH = √(BC² - BH²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3. В прямоугольном треугольнике ABH sin(∠A) = BH / AB и cos(∠A) = AH / AB. В треугольнике ABC угол BAC = 180° - 90° - 60° = 30°. cos(30) = AH/AB. cos(30°) = √3/2. AB/BC = sin(60) = √3/2 => AB = BC * (√3 / 2 ) = 8 * (√3 / 2 ) = 4√3. sin(30) = 1/2 = BH / AB => AB = BH/(1/2) = 4 / (1/2) = 8. Cos(30°) = AH/AB => AH = AB*cos(30°) = 8 * √3/2 = 4√3. Ответ: AH = 4√3 см.