* Дано: ∠DBC=90°, ∠BDC=60°, BD = 4 см (рис. 5.92). a) Между какими целыми числами заключена длина отрезка BC? б) Найдите длину медианы BE.

Решение:

а) Найдем длину отрезка BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Угол \( \angle BDC = 60^{\circ} \), \( \angle DBC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет BC противолежит углу \( \angle BDC = 60^{\circ} \), а катет CD противолежит углу \( \angle CBD = 90^{\circ} \) (это гипотенуза). Катет BD противолежит углу \( \angle BCD = 30^{\circ} \).

Используем тангенс угла \( \angle BDC \):

\( \tan(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{BC}{4} \)

\( \sqrt{3} = \frac{BC}{4} \)

\( BC = 4\sqrt{3} \) см.

Приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( BC \approx 4 \times 1.732 = 6.928 \) см.

Длина отрезка BC заключена между целыми числами 6 и 7.

б) Найдем длину медианы BE.

Медиана BE в треугольнике BDC соединяет вершину B с серединой стороны CD. Нам нужно найти длину CD.

Используем косинус угла \( \angle BDC \):

\( \cos(\angle BDC) = \frac{BD}{CD} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{4}{CD} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{4}{CD} \)

\( CD = 4 \times 2 = 8 \) см.

Точка E — середина CD, следовательно, \( CE = ED = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Мы можем найти длину медианы BE, используя теорему о медиане в прямоугольном треугольнике, если бы BE была медианой, проведенной к гипотенузе. Но BE — медиана к катету CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDE. У нас есть \( BD = 4 \) см и \( ED = 4 \) см. Угол \( \angle BDE = 60^{\circ} \).

Используем теорему косинусов для треугольника BDE, чтобы найти BE:

\( BE^2 = BD^2 + ED^2 - 2 \cdot BD \cdot ED \cdot \cos(\angle BDE) \)

\( BE^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(60^{\circ}) \)

\( BE^2 = 16 + 16 - 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BE^2 = 32 - 16 \)

\( BE^2 = 16 \)

\( BE = \sqrt{16} = 4 \) см.

Ответ: а) Длина отрезка BC заключена между 6 и 7 см. б) Длина медианы BE равна 4 см.