1. Дано: DO = 8, AD = 10. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Шаг 1: Найдем сторону основания AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. По теореме Пифагора:

\[AD^2 = AO^2 + DO^2\]

Отсюда:

\[AO = \sqrt{AD^2 - DO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

Так как O - центр правильного треугольника, то AO = (2/3) * AM, где AM - медиана и высота треугольника ABC.

Тогда:

\[AM = \frac{3}{2} AO = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9\]

Медиана в правильном треугольнике также является высотой и вычисляется по формуле:

\[AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB\]

Отсюда:

\[AB = \frac{2}{\sqrt{3}} AM = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 9 = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

Шаг 2: Найдем площадь основания ABC.

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

\[S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \cdot 3 = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}\]

Шаг 3: Найдем объем пирамиды DABC.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DO = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 8 = 9\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3}\]

Ответ: V = 72√3