4. Дано: O₁ и O₂ – точки пере- сечения медиан ΔADB и ΔBDC, O₁O₂ = 2√3, DC = 10.

Разбираемся:

1. Так как $$O_1$$ и $$O_2$$ - точки пересечения медиан, то $$O_1O_2$$ - средняя линия треугольника $$\triangle ABC$$, следовательно $$O_1O_2 = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3}a$$, где $$a$$ - сторона основания.

2. Выразим сторону основания:

   \[a = 3O_1O_2 = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

3. Найдем площадь основания:

   \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}\]

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle DOC$$. $$OC = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$

   \[DO = \sqrt{DC^2 - OC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

5. Найдем объем пирамиды:

   \[V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 8 = 9\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3}\]