5 Дано: O – центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, AD=BC=9, AB=16, ME=10. Найти OM.

Рассмотрим задачу №5.

Дано: O – центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, AD=BC=9, AB=16, ME=10. Необходимо найти OM.

Для решения данной задачи необходимо понимать свойства трапеции, вписанной в окружность, и теорему Пифагора.

Так как в трапецию ABCD вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. То есть, AD + BC = AB + CD.

Тогда, CD = AD + BC - AB = 9 + 9 - 16 = 2.

Так как трапеция ABCD - равнобедренная, то высоты, опущенные из вершин C и D, делят основание AB на три отрезка: AE, EF и FB, причем AE = FB.

AE = (AB - EF)/2 = (AB - CD)/2 = (16 - 2)/2 = 14/2 = 7.

Рассмотрим треугольник ADE. Он является прямоугольным, так как DE перпендикулярна AB.

Тогда, по теореме Пифагора:

$$DE^2 = AD^2 - AE^2$$

$$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Так как O - центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, то O - середина DE.

Тогда, OE = DE/2 = ($$4\sqrt{2}$$)/2 = $$2\sqrt{2}$$

Рассмотрим треугольник OME. Он является прямоугольным, так как ME перпендикулярна AB.

Тогда, по теореме Пифагора:

$$OM^2 = ME^2 + OE^2$$

$$OM = \sqrt{ME^2 + OE^2} = \sqrt{10^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 8} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$6\sqrt{3}$$