5. Дано: PT – биссектриса \(\angle KPM\) (рис. 3.102). Найти: x.

Решение: 1. **Анализ рисунка и условия:** На рисунке 3.102 изображена геометрическая фигура, где PT – биссектриса угла KPM. Это означает, что угол KPT равен углу TPM. Также даны углы \(\angle M = 68^\circ\), \(\angle N = 112^\circ\), \(\angle K = 68^\circ\). Нам нужно найти угол x, который является углом \(\angle KTP\). 2. **Нахождение угла \(\angle NPM\):** Угол \(\angle NPM\) смежный с углом \(\angle N\), поэтому: \(\angle NPM = 180^\circ - \angle N = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\) 3. **Определение типа треугольника \(\triangle NPM\):** Так как \(\angle NPM = \angle M = 68^\circ\), то треугольник \(\triangle NPM\) равнобедренный с основанием NM. 4. **Вывод о параллельности прямых NK и MP:** Так как углы \(\angle NPM\) и \(\angle N\) являются односторонними и в сумме составляют 180°, прямые NK и MP параллельны. 5. **Нахождение угла \(\angle KPM\):** \(\angle KPM\) и \(\angle K\) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых NK и MP, поэтому их сумма равна 180°: \(\angle KPM = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\) 6. **Нахождение угла \(\angle TPM\):** Поскольку PT - биссектриса угла KPM, то: \(\angle TPM = \frac{1}{2} \angle KPM = \frac{1}{2} \cdot 112^\circ = 56^\circ\) 7. **Нахождение угла \(\angle TPK\):** \(\angle TPK = \angle TPM = 56^\circ\) (так как PT биссектриса угла KPM) 8. **Рассмотрение треугольника \(\triangle KTP\):** Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно: \(\angle KTP = 180^\circ - \angle K - \angle TPK = 180^\circ - 68^\circ - 56^\circ = 56^\circ\) Таким образом, \(x = 56^\circ\). **Ответ:** \(x = 56^\circ\)