1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE : NK; в) $$S_{MPE}: S_{MNK}$$.

a) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. У них угол M - общий. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:$$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$.

Подставим известные значения: $$\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}$$.

Решим уравнение: $$MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$.

б) Из подобия треугольников MPE и MNK следует пропорциональность сторон: $$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK}$$.

Подставим известные значения: $$\frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия: $$k = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$.

Отношение площадей: $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2 : 3; в) $$S_{MPE}: S_{MNK}$$ = 4 : 9