1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) РЕ: NK; в) SMPE: SMNK M N P E K Рис. 7.55

Решение:

1. Рассмотрим задачу, используя подобие треугольников. Так как PE || NK, то треугольники MPE и MNK подобны по двум углам (∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей EK).

а) Найдем MK. Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}\]

Решим уравнение для MK:

\[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

б) Найдем отношение PE : NK. Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

в) Найдем отношение площадей S_MPE : S_MNK. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2 = \left(\frac{8}{12}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ:

а) MK = 9

б) PE : NK = 2/3

в) S_MPE : S_MNK = 4/9

Ответ: MK = 9, PE : NK = 2/3, SMPE : SMNK = 4/9

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей на подобие треугольников. Продолжай в том же духе, и все получится!