Дано: точки K и M — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, изображённого на рис. 95, точки P и T — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что середины отрезков KM и PT совпадают.

Обозначим через O точку пересечения отрезков KM и PT, которую требуется показать их общей серединой. Удобно выразить точки через радиус-векторы вершин.

1. Поскольку K и M — середины AB и CD, имеем \(\vec K=(\vec A+\vec B)/2\) и \(\vec M=(\vec C+\vec D)/2\). Поэтому радиус-вектор середины KM равен \((\vec K+\vec M)/2=(\vec A+\vec B+\vec C+\vec D)/4\).
2. Поскольку P и T — середины AC и BD, имеем \(\vec P=(\vec A+\vec C)/2\) и \(\vec T=(\vec B+\vec D)/2\). Поэтому радиус-вектор середины PT равен \((\vec P+\vec T)/2=(\vec A+\vec B+\vec C+\vec D)/4\).
3. Радиус-векторы середин KM и PT равны, следовательно, это одна и та же точка.

Ответ: середины отрезков KM и PT совпадают.