На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и H так, что AM = 4 BM, CH = 4 BH. Докажите, что MH ∥ AC и MH : AC = 1,5, используя векторы.

Пусть \(\vec A=\mathbf a\), \(\vec B=\mathbf b\), \(\vec C=\mathbf c\).

1. Из \(AM=4BM\) следует \(\overrightarrow{BM}=\frac15\overrightarrow{BA}\), поэтому \(\vec M=\frac45\mathbf b+\frac15\mathbf a\).
2. Из \(CH=4BH\) следует \(BH:HC=1:4\), значит \(\overrightarrow{BH}=\frac15\overrightarrow{BC}\) и \(\vec H=\frac45\,\mathbf b+\frac15\mathbf c\).
3. Тогда \(\overrightarrow{MH}=\vec H-\vec M=\frac15(\mathbf c-\mathbf a)=\frac15\overrightarrow{AC}\).

Следовательно, MH параллелен AC, а его длина составляет одну пятую длины AC.

Ответ: \(MH\parallel AC\), \(MH:AC=1:5\).

В условии указано \(MH:AC=1{,}5\), но это противоречит данным о точках: из них получается отношение \(1:5\). Вероятно, в условии имеется опечатка.