Даны два равных треугольника АВС и КМР, где АВ = KM, BC = MP, AC = КР. Докажите, что высоты ВН и МО равны.

Так как треугольники ABC и KMP равны, то соответственные углы этих треугольников равны. 1. Рассмотрим треугольники ABC и KMP. По условию, AB = KM, BC = MP, AC = KP. Следовательно, треугольники ABC и KMP равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 2. Так как треугольники ABC и KMP равны, то угол A равен углу K, угол B равен углу M, и угол C равен углу P. $$\angle A = \angle K, \space \angle B = \angle M, \space \angle C = \angle P$$ 3. BH – высота в треугольнике ABC, а MO – высота в треугольнике KMP. Следовательно, треугольники ABH и KMO – прямоугольные ($$\angle AHB = \angle KMO = 90^\circ$$). 4. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и KMO. У них AB = KM (по условию) и $$\angle A = \angle K$$ (из равенства треугольников ABC и KMP). Следовательно, треугольники ABH и KMO равны по гипотенузе и острому углу. 5. Из равенства треугольников ABH и KMO следует равенство соответствующих сторон, в частности BH = MO. Следовательно, высоты BH и MO равны, что и требовалось доказать.