1. Докажите, что треугольник равнобедренный, если в нём две высоты равны.

Пусть в треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 равны. Рассмотрим треугольники BB1C и CC1B. У них сторона BC общая, BB1 = CC1 по условию, а углы BB1C и CC1B прямые (так как BB1 и CC1 — высоты). Следовательно, треугольники BB1C и CC1B равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников BB1C и CC1B следует, что угол B равен углу C. А в треугольнике ABC против равных углов лежат равные стороны, значит, AB = AC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.