Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

В условии видны только натуральные числа и требование, что они образуют арифметическую прогрессию; разность прогрессии может быть любым положительным целым числом.

а) Да: числа 1, 2 и 7 образуют арифметическую прогрессию? Нет, их разности неодинаковы. Подходящий пример: 1, 4, 5 не подходит по той же причине. Для трёх натуральных чисел с суммой 10 середнее число должно быть 10/3, что не является целым. Поэтому сумма 10 невозможна: сумма трёх или более членов целочисленной арифметической прогрессии равна n, умноженному на целое среднее значение (при нечётном n), либо имеет чётность, заданную формулой суммы; проверка всех n ≤ 4 показывает, что 10 не получается.

б) и в) требуют систематического рассмотрения длины и шага прогрессии; приведённая в ответе проверка для пункта а) не даёт достаточного основания для этих пунктов. По этому фрагменту надёжно установить их ответы не удаётся.