1. Даны точки: А(1; −5; 0), B(-3; 3; -4), C(-1; 4; 0), D(-5; 6; 2). Найдите: а) угол между векторами АВ и СБ

1. Даны точки A(1; -5; 0), B(-3; 3; -4), C(-1; 4; 0), D(-5; 6; 2). Найдите: а) угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\)

а) Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

• \(\overrightarrow{AB} = (-3 - 1; 3 - (-5); -4 - 0) = (-4; 8; -4)\)
• \(\overrightarrow{CD} = (-5 - (-1); 6 - 4; 2 - 0) = (-4; 2; 2)\)

Угол \(\theta\) между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) можно найти по формуле:

$$cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}$$

• Найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\): \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4) \cdot (-4) + 8 \cdot 2 + (-4) \cdot 2 = 16 + 16 - 8 = 24\)
• Найдем модули векторов \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{CD}|\):
  • \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\)
  • \(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)

Подставим значения в формулу для \(cos(\theta)\):

$$cos(\theta) = \frac{24}{4\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{24}{8 \cdot 6} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$$

Значит, \(\theta = arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}\) или 60 градусов.

Ответ: 60 градусов.