1. Даны точки A(1; 5), B(-3; 2) и C(2; 3). Найдите: 1) координаты векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\); 2) модули векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\); 3) координаты вектора \(\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}\); 4) скалярное произведение векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\); 5) косинус угла между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\).

Добрый день, ученики! Сейчас мы разберем решение задачи по векторам. 1) Координаты векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\). Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала. \(\vec{CA} = A - C = (1 - 2; 5 - 3) = (-1; 2)\) \(\vec{CB} = B - C = (-3 - 2; 2 - 3) = (-5; -1)\) Итак, \(\vec{CA} = (-1; 2)\) и \(\vec{CB} = (-5; -1)\). 2) Модули векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\). Модуль (или длина) вектора вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где x и y - координаты вектора. \(|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\) \(|\vec{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\) Итак, \(|\vec{CA}| = \sqrt{5}\) и \(|\vec{CB}| = \sqrt{26}\). 3) Координаты вектора \(\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}\). Сначала найдем векторы \(3\vec{CA}\) и \(4\vec{CB}\), умножив каждый компонент вектора на соответствующее число. \(3\vec{CA} = 3 * (-1; 2) = (-3; 6)\) \(4\vec{CB} = 4 * (-5; -1) = (-20; -4)\) Теперь вычтем векторы: \(\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB} = (-3 - (-20); 6 - (-4)) = (-3 + 20; 6 + 4) = (17; 10)\) Итак, \(\vec{DM} = (17; 10)\). 4) Скалярное произведение векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\). Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\), где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты векторов. \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) * (-5) + 2 * (-1) = 5 - 2 = 3\) Итак, скалярное произведение \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 3\). 5) Косинус угла между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\). Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: \(\cos(\theta) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| * |\vec{CB}|} = \frac{3}{\sqrt{5} * \sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{130}}\) Итак, \(\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{130}}\).