Даны точки А (3;-2), В (1; −1) и С (-1; 1). Найдите: 1) координаты векторов ВА и ВС; 2) модули векторов ВА и ВС; 3) координаты вектора MP = 4BA - BC; 4) скалярное произведение векторов ВА и ВС; 5) косинус угла между векторами ВА и ВС.

1) Координаты векторов ВА и ВС.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

• $$\overrightarrow{BA} = (1-3; -1-(-2)) = (-2;1)$$
• $$\overrightarrow{BC} = (-1-1; 1-(-1)) = (-2;2)$$

Ответ:$$\overrightarrow{BA}=(-2;1), \overrightarrow{BC}=(-2;2)$$

2) Модули векторов ВА и ВС.

Модуль вектора находится по формуле: $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$$

• $$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-2)^2+1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$$
• $$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Ответ: $$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{5}, |\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{2}$$

3) Координаты вектора MP = 4BA - BC.

• $$4\overrightarrow{BA} = 4 \cdot (-2;1) = (-8;4)$$
• $$4\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = (-8-(-2); 4-2) = (-6;2)$$

Ответ:$$\overrightarrow{MP} = (-6;2)$$

4) Скалярное произведение векторов ВА и ВС.

Скалярное произведение векторов находится по формуле: $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2+y_1y_2$$

• $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 4+2 = 6$$

Ответ: 6

5) Косинус угла между векторами ВА и ВС.

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$cos\alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$$

• $$cos\alpha = \frac{6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

Ответ:$$\frac{3\sqrt{10}}{10}$$