3 Даны точки А(0; 0), В(2; 2), C(5; -1). Найдите скаляр- ное произведение AC·CB. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

1. Даны точки A(0; 0), B(2; 2), C(5; -1).

2. Найдем координаты векторов AC и CB.

3. AC = (5 - 0; -1 - 0) = (5; -1).

4. CB = (2 - 5; 2 - (-1)) = (-3; 3).

5. Скалярное произведение векторов AC и CB равно сумме произведений соответствующих координат: AC · CB = (5 * -3) + (-1 * 3) = -15 - 3 = -18.

6. Чтобы доказать, что треугольник ABC прямоугольный, нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Для этого найдем длины сторон AB, BC и AC.

7. AB = √((2 - 0)² + (2 - 0)²) = √(2² + 2²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

8. BC = √((5 - 2)² + (-1 - 2)²) = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

9. AC = √((5 - 0)² + (-1 - 0)²) = √(5² + (-1)²) = √(25 + 1) = √26.

10. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: AB² + BC² = AC².

11. (2√2)² + (3√2)² = (√26)².

12. 8 + 18 = 26.

13. 26 = 26. Теорема Пифагора выполняется, следовательно, треугольник ABC прямоугольный.

Ответ: AC·CB = -18, треугольник ABC прямоугольный