2 Решите треугольник АВС, если ∠A = 45°, ∠B = 75°, АВ = 2√3 см.

1. В треугольнике ABC известны два угла и одна сторона. Чтобы решить треугольник, нужно найти все его углы и стороны.

2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 45° - 75° = 60°.

3. По теореме синусов, a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие им углы.

4. В нашем случае, AB / sin(C) = AC / sin(B) = BC / sin(A), где AB = 2√3 см, угол A = 45°, угол B = 75°, угол C = 60°.

5. Следовательно, (2√3) / sin(60°) = AC / sin(75°) = BC / sin(45°).

6. sin(60°) = √3 / 2, sin(45°) = √2 / 2, sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°) * cos(30°) + cos(45°) * sin(30°) = (√2 / 2) * (√3 / 2) + (√2 / 2) * (1 / 2) = (√6 + √2) / 4.

7. Тогда (2√3) / (√3 / 2) = AC / ((√6 + √2) / 4) = BC / (√2 / 2).

8. (2√3) / (√3 / 2) = 2√3 * (2 / √3) = 4. Следовательно, 4 = AC / ((√6 + √2) / 4) = BC / (√2 / 2).

9. AC = 4 * ((√6 + √2) / 4) = √6 + √2 см.

10. BC = 4 * (√2 / 2) = 2√2 см.

Ответ: ∠C = 60°, AC = √6 + √2 см, BC = 2√2 см