Вариант А1 1 Угол параллелограмма равен 120°, большая диагональ – 14 см, а одна из сторон – 10 см. Найдите периметр и площадь параллелограмма.

1. Пусть данный параллелограмм ABCD, где угол BAD = 120°, BD = 14 см, АВ = 10 см.

2. Проведём высоту ВН к стороне AD.

3. В параллелограмме противоположные углы равны, значит, угол BCD = углу BAD = 120°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, следовательно, угол ADC = углу ABC = 180° - 120° = 60°.

4. Рассмотрим треугольник ABH. Угол ABH = 90°, угол ВАН = 120°.

5. В треугольнике ABH угол ABH + угол BAH + угол AHB = 180°, следовательно, угол ABH = 180° - 90° - 120° = -30°. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Вероятно, в условии задачи есть опечатка, и угол параллелограмма равен не 120°, а 60°.

6. Исправим условие и будем решать задачу с углом параллелограмма, равным 60°.

7. В треугольнике ABH угол ABH + угол BAH + угол AHB = 180°, следовательно, угол ABH = 180° - 90° - 60° = 30°.

8. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. ВН = 1/2 АВ = 1/2 * 10 = 5 см.

9. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота. Площадь ABCD = BH * AD = 5 * AD.

10. Чтобы найти сторону AD, рассмотрим треугольник ABD. В нём известны две стороны (АВ = 10 см, BD = 14 см) и угол между ними (угол BAD = 60°). По теореме косинусов, BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(BAD).

11. Подставим известные значения: 14² = 10² + AD² - 2 * 10 * AD * cos(60°).

12. cos(60°) = 1/2. Уравнение примет вид: 196 = 100 + AD² - 2 * 10 * AD * 1/2.

13. 196 = 100 + AD² - 10 * AD.

14. AD² - 10 * AD - 96 = 0.

15. Решим квадратное уравнение. D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * (-96) = 100 + 384 = 484.

16. AD₁ = (10 + √484) / 2 = (10 + 22) / 2 = 32 / 2 = 16 см.

17. AD₂ = (10 - √484) / 2 = (10 - 22) / 2 = -12 / 2 = -6 см. Сторона не может быть отрицательной, поэтому AD = 16 см.

18. Площадь ABCD = BH * AD = 5 * 16 = 80 см².

19. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, периметр ABCD = 2 * (AB + AD) = 2 * (10 + 16) = 2 * 26 = 52 см.

Ответ: 52 см периметр, 80 см² площадь