Даны точки: A(0;-3); B(-1;0); C(5;2) 1. а)? коорд. и длину вектора АВ б) разложите АВ по коорд. векторам i и j. 2. а) Напишите ур-е окр-ти с центром в A(6;-1) и радиусом, равным длине этой окр-ти (1.) 3. Напишите ур-е прямой AB. 4. а) Док-те, что AB и CB коллинеарны б) Док-те, что АВСВ - прямоугольник.

Решение:

Дано: Точки A(0;-3), B(-1;0), C(5;2)

1. Вектор АВ:

а) Координаты вектора АВ равны разности координат точки B и точки A: \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1 - 0; 0 - (-3)) = (-1; 3) \). Длина вектора \( \vec{AB} \) равна \( \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \).

б) Разложение вектора АВ по координатным векторам \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \): \( \vec{AB} = -1\vec{i} + 3\vec{j} \).

2. Уравнение окружности:

Центр окружности - точка A(6;-1), радиус равен длине вектора АВ, то есть \( R = \sqrt{10} \). Уравнение окружности имеет вид \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \), где \( (a,b) \) - координаты центра. Подставляем: \( (x-6)^2 + (y-(-1))^2 = (\sqrt{10})^2 \) → \( (x-6)^2 + (y+1)^2 = 10 \).

3. Уравнение прямой AB:

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \). Подставляем координаты точек A(0;-3) и B(-1;0): \( \frac{x - 0}{-1 - 0} = \frac{y - (-3)}{0 - (-3)} \) → \( \frac{x}{-1} = \frac{y+3}{3} \) → \( -3x = y + 3 \) → \( y = -3x - 3 \).

4. Доказательство коллинеарности и прямоугольности:

а) Найдем вектор CB: \( \vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-1 - 5; 0 - 2) = (-6; -2) \). Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим пропорциональность векторов \( \vec{AB} = (-1; 3) \) и \( \vec{CB} = (-6; -2) \): \( \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \), \( \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \). Так как \( \frac{1}{6} \neq -\frac{3}{2} \), векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \) не коллинеарны. Возможно, в условии опечатка и имелось в виду другое.

б) Чтобы доказать, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный, проверим условие перпендикулярности векторов. Найдем вектор AC: \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (5 - 0; 2 - (-3)) = (5; 5) \). Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(5) + (3)(5) = -5 + 15 = 10 \). Так как скалярное произведение не равно нулю, \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) не перпендикулярны. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{BA} \) (координаты -(1;-3)) и \( \vec{BC} \) (координаты (6;2)): \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1)(6) + (3)(2) = -6 + 6 = 0 \). Так как скалярное произведение \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) равно нулю, векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) перпендикулярны. Следовательно, \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \triangle ABC \) — прямоугольный. В условии, вероятно, имелось в виду \( \triangle ABC \), а не \( ABCB \).

Ответ:

1. а) \( \vec{AB} = (-1; 3) \), \( |\vec{AB}| = \sqrt{10} \).

б) \( \vec{AB} = -1\vec{i} + 3\vec{j} \).

2. \( (x-6)^2 + (y+1)^2 = 10 \).

3. \( y = -3x - 3 \).

4. а) Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \) не коллинеарны.

б) \( \triangle ABC \) — прямоугольный, так как \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 \).