Работа №2 3. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: М (-6; 1), N (2; 4), К (2; -2). а) Докажите, что ДМNK – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

Решение:

Дано: Вершины треугольника M(-6; 1), N(2; 4), K(2; -2).

а) Доказательство, что \( \triangle MNK \) – равнобедренный:

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

Длина стороны MN:

\( MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2+6)^2 + 3^2} = \sqrt{8^2 + 9} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \).

Длина стороны NK:

\( NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6 \).

Длина стороны MK:

\( MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2+6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{8^2 + 9} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \).

Так как \( MN = MK = \sqrt{73} \), то \( \triangle MNK \) — равнобедренный.

б) Нахождение высоты, проведенной из вершины М:

Высота, проведенная из вершины М, перпендикулярна к основанию NK. Заметим, что точки N(2; 4) и K(2; -2) имеют одинаковые x-координаты. Это означает, что сторона NK является вертикальным отрезком. Длина этой стороны равна \( NK = |y_N - y_K| = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 \).

Так как NK — вертикальный отрезок, высота, опущенная из М на прямую NK, будет горизонтальным отрезком. Длина этой высоты равна разности x-координат точки М и точки, лежащей на прямой NK (где x=2). То есть, координата x основания высоты будет 2.

Высота \( h_M \) равна разности x-координат точки M и основания высоты на прямой NK: \( h_M = |x_M - x_{NK}| = |-6 - 2| = |-8| = 8 \).

Ответ:

а) \( \triangle MNK \) – равнобедренный, так как \( MN = MK = \sqrt{73} \).

б) Высота, проведенная из вершины М, равна 8.