Даны точки А, В, С вершины треугольника. Точки D, E, F являются серединами сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что четырехугольник DBEF является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник DBEF является параллелограммом, нужно доказать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. DE – средняя линия треугольника ABC. Так как D и E – середины сторон AB и BC соответственно, то DE является средней линией треугольника ABC. Следовательно, DE || AC и DE = 1/2 AC. 2. BF – средняя линия треугольника ABC. Так как E и F – середины сторон BC и CA соответственно, то EF является средней линией треугольника ABC. Следовательно, EF || AB и EF = 1/2 AB. 3. DB = 1/2 AB и CF = 1/2 AC. Так как D и F – середины сторон AB и AC соответственно. 4. DBEF – параллелограмм. DE || AC, а BF лежит на AC, следовательно, DE || BF. EF || AB, а DB лежит на AB, следовательно, EF || DB. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника DBEF параллельны, следовательно, DBEF – параллелограмм.