Даны векторы \( \vec{a}=(0; 3) \), \( \vec{b}=(-2; 4) \) и \( \vec{c}=(4; -1) \). Найдите длину вектора \( \vec{d} = \vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} \).

Решение:

1. Найдем координаты вектора \( \vec{d} = \vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} \).
2. Сначала найдем \( 2\vec{b} \):
   \( 2\vec{b} = 2(-2; 4) = (-4; 8) \)
3. Теперь вычислим \( \vec{a} - 2\vec{b} \):
   \( \vec{a} - 2\vec{b} = (0; 3) - (-4; 8) = (0 - (-4); 3 - 8) = (4; -5) \)
4. Наконец, найдем \( \vec{d} = (\vec{a} - 2\vec{b}) + \vec{c} \):
   \( \vec{d} = (4; -5) + (4; -1) = (4 + 4; -5 + (-1)) = (8; -6) \)
5. Теперь найдем длину вектора \( \vec{d} \). Длина вектора \( \vec{d}=(x; y) \) находится по формуле \( |\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
   \( |\vec{d}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \)

Ответ: 10