727. Даны выражения 46 (b + 1) и (2b + 7) (26 – 8). Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверж- дать, что при любом значении в значение первого выражения больше, чем значение второго?

Решение

Пусть первое выражение: A = 4b(b + 1), второе выражение: B = (2b + 7)(2b - 8).

1. Сравним значения при b = -3:

A = 4 \(\cdot\) (-3) \(\cdot\) (-3 + 1) = -12 \(\cdot\) (-2) = 24

B = (2 \(\cdot\) (-3) + 7)(2 \(\cdot\) (-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \(\cdot\) (-14) = -14

При b = -3: A > B (24 > -14)

2. Сравним значения при b = -2:

A = 4 \(\cdot\) (-2) \(\cdot\) (-2 + 1) = -8 \(\cdot\) (-1) = 8

B = (2 \(\cdot\) (-2) + 7)(2 \(\cdot\) (-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \(\cdot\) (-12) = -36

При b = -2: A > B (8 > -36)

3. Сравним значения при b = 10:

A = 4 \(\cdot\) 10 \(\cdot\) (10 + 1) = 40 \(\cdot\) 11 = 440

B = (2 \(\cdot\) 10 + 7)(2 \(\cdot\) 10 - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \(\cdot\) 12 = 324

При b = 10: A > B (440 > 324)

4. Проверим, всегда ли A > B при любом значении b.

4b(b + 1) > (2b + 7)(2b - 8)

4b^2 + 4b > 4b^2 - 16b + 14b - 56

4b^2 + 4b > 4b^2 - 2b - 56

6b > -56

b > -56/6

b > -28/3

b > -9 \(\frac{1}{3}\)

Таким образом, первое выражение больше второго при b > -9 \(\frac{1}{3}\).

Можно утверждать, что значение первого выражения больше значения второго не при любом b, а только при b > -9 \(\frac{1}{3}\).