726. Даны выражения За (a + 6) и (За + 6) (а + 4). Сравните их значения при а = −5; 0; 40. Докажите, что при лю- бом а значение первого выражения меньше значения второго.

Решение

Пусть первое выражение: A = 3(a + 6), второе выражение: B = (3a + 6)(a + 4).

1. Сравним значения при a = -5:

A = 3(-5 + 6) = 3 \(\cdot\) 1 = 3

B = (3 \(\cdot\) (-5) + 6)(-5 + 4) = (-15 + 6)(-1) = (-9)(-1) = 9

При a = -5: A < B (3 < 9)

2. Сравним значения при a = 0:

A = 3(0 + 6) = 3 \(\cdot\) 6 = 18

B = (3 \(\cdot\) 0 + 6)(0 + 4) = 6 \(\cdot\) 4 = 24

При a = 0: A < B (18 < 24)

3. Сравним значения при a = 40:

A = 3(40 + 6) = 3 \(\cdot\) 46 = 138

B = (3 \(\cdot\) 40 + 6)(40 + 4) = (120 + 6)(44) = 126 \(\cdot\) 44 = 5544

При a = 40: A < B (138 < 5544)

4. Докажем, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго:

Нужно доказать, что 3(a + 6) < (3a + 6)(a + 4) при любом a.

Раскроем скобки:

3a + 18 < 3a^2 + 12a + 6a + 24

3a + 18 < 3a^2 + 18a + 24

Перенесем все в правую часть:

0 < 3a^2 + 15a + 6

Разделим на 3:

0 < a^2 + 5a + 2

Рассмотрим функцию f(a) = a^2 + 5a + 2.

Найдем дискриминант D = 5^2 - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 2 = 25 - 8 = 17.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

a_1 = (-5 - \(\sqrt{17}\))/2, a_2 = (-5 + \(\sqrt{17}\))/2

При a < a_1 или a > a_2, a^2 + 5a + 2 > 0.

a_1 \(\approx\) -4.56, a_2 \(\approx\) -0.44

Таким образом, при a < -4.56 или a > -0.44, первое выражение меньше второго.

Проверим, что происходит между этими значениями. Возьмем a = -1:

A = 3(-1 + 6) = 3 \(\cdot\) 5 = 15

B = (3 \(\cdot\) (-1) + 6)(-1 + 4) = (-3 + 6)(3) = 3 \(\cdot\) 3 = 9

При a = -1: A > B (15 > 9)

Таким образом, не при любом a значение первого выражения меньше значения второго.