Диагностика 29 машин в таксопарке показала, что в 12 машинах нужно заменить тормозные колодки, а в 7 машинах — заменить воздушный фильтр (замена тормозных колодок и замена фильтра — независимые виды работ). Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

Решение:

Обозначим:

• \( T \) — множество машин, в которых нужно заменить тормозные колодки. \( |T| = 12 \)
• \( F \) — множество машин, в которых нужно заменить воздушный фильтр. \( |F| = 7 \)
• Общее количество машин — \( 29 \).

Рассмотрим утверждения:

1. Утверждение 1: Найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.
   Сумма машин, требующих ремонта колодок и фильтра, равна \( 12 + 7 = 19 \). Общее количество машин — 29. Если бы ни одна машина не требовала обоих видов ремонта, то в таксопарке было бы \( 29 - 19 = 10 \) машин, где ремонт не требуется. Так как \( 12 + 7 = 19 < 29 \), то возможно, что пересечение равно 0. Но чтобы найти минимальное пересечение, воспользуемся формулой: \( |T \cap F| = |T| + |F| - |T \cup F| \). Максимальное \( |T \cup F| = 29 \). Минимальное пересечение: \( |T \cap F| \ge |T| + |F| - 29 = 12 + 7 - 29 = 19 - 29 = -10 \). Это означает, что пересечение может быть 0. Максимальное пересечение — 7 (так как \( |F| = 7 \)).
   Проверим, может ли пересечение быть 9. Если \( |T \cap F| = 9 \), то машин, где нужно менять только колодки, будет \( 12 - 9 = 3 \). Машин, где нужно менять только фильтр, будет \( 7 - 9 \), что невозможно, так как \( 7 < 9 \). Следовательно, утверждение 1 неверно.
2. Утверждение 2: Если в машине нужно заменить тормозные колодки, то и фильтр нужно заменить.
   Это утверждение означает, что \( T \subseteq F \), то есть все машины, которым нужны новые колодки, также нуждаются в замене фильтра. Но \( |T| = 12 \) и \( |F| = 7 \), что невозможно, так как \( 12 > 7 \). Следовательно, утверждение 2 неверно.
3. Утверждение 3: Не найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.
   Мы уже выяснили, что максимальное пересечение — 7. Следовательно, утверждение, что найдётся 9 машин, требующих обоих видов ремонта, неверно. Значит, утверждение «не найдётся 9 машин» — верно.
4. Утверждение 4: Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни тормозные колодки, ни фильтр.
   Пусть \( N \) — количество машин, где не нужно менять ни колодки, ни фильтр. Тогда \( |T \cup F| = 29 - N \). Мы знаем, что \( |T \cup F| = |T| + |F| - |T \cap F| = 12 + 7 - |T \cap F| = 19 - |T \cap F| \). Следовательно, \( 29 - N = 19 - |T \cap F| \) или \( N = 10 + |T \cap F| \). Минимальное значение \( |T \cap F| \) равно 0, тогда \( N = 10 \). Максимальное значение \( |T \cap F| \) равно 7, тогда \( N = 10 + 7 = 17 \). Таким образом, количество машин, где не нужно менять ни колодки, ни фильтр, находится в диапазоне от 10 до 17. Следовательно, утверждение «найдётся 9 машин» — верно.

Ответ: 3, 4.