15. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 37° и 23° (см. рис. 41). Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме ABCD, диагональ AC образует углы ∠BAC = 23° и ∠ACD = 37°. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD Поскольку ABCD - параллелограмм, противоположные углы равны, то есть ∠BAD = ∠BCD и ∠ABC = ∠ADC. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, ∠BAD + ∠ABC = 180°. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Поскольку ∠BAC = 23°, то 23° + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Из этого следует, что ∠ABC = 180° - 23° - ∠BCA. Заметим, что ∠BCA = ∠CAD (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Тогда ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 23° + 37° = 60°. Поскольку ∠BAD + ∠ABC = 180°, то ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°. Больший угол параллелограмма ABCD - это угол ∠ABC, который равен 120°. Ответ: 120