Диагональ AC ромба ABCD равна 48, a tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. В прямоугольном треугольнике BOC: \( \angle BOC = 90^ \). \( OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} 48 = 24 \).
3. По условию, \( \text{tg} ∠ BCA = \frac{7}{24} \). В треугольнике BOC, \( \text{tg} ∠ BCA = \frac{BO}{OC} \).
4. Найдем длину BO: \( \frac{BO}{24} = \frac{7}{24} \), откуда \( BO = 7 \).
5. Диагональ BD = \( 2 BO = 2 7 = 14 \).
6. Площадь ромба S = \( \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC BD = \frac{1}{2} 48 14 = 336 \).
7. Найдем сторону ромба AB по теореме Пифагора из треугольника BOC: \( AB^2 = BO^2 + OC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \). Следовательно, \( AB = \sqrt{625} = 25 \).
8. Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где p — полупериметр ромба.
9. Периметр ромба P = \( 4 AB = 4 25 = 100 \). Полупериметр p = \( \frac{100}{2} = 50 \).
10. Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{336}{50} = 6.72 \).

Ответ: 6.72