18. Диагональ АС ромба ABCD равна 10, a tg∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.

• Шаг 1: Найдем сторону ромба.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AC - диагональ ромба, то она является биссектрисой угла BCD. Значит, угол BCA равен половине угла BCD.

Дано, что tg∠BCA = 0,8, то есть \(\frac{BE}{CE} = 0.8\), где BE - высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

Пусть CE = x, тогда BE = 0.8x.

• Шаг 2: Выразим сторону AB через x.

По теореме Пифагора для треугольника BEC:

\[AB^2 = BE^2 + CE^2 = (0.8x)^2 + x^2 = 0.64x^2 + x^2 = 1.64x^2\]

\[AB = \sqrt{1.64x^2} = x\sqrt{1.64}\]

• Шаг 3: Найдем x, зная, что AC = 10.

Так как E - середина AC, то CE = AC / 2 = 10 / 2 = 5.

Значит, x = 5.

• Шаг 4: Вычислим AB.

\[AB = 5\sqrt{1.64}\]

• Шаг 5: Найдем площадь ромба.

Площадь ромба можно найти через диагонали: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\). AC = 10, найдем BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. BE = 0.8 * 5 = 4. AE = AC / 2 = 5.

Тогда BD = 2 * BE = 2 * 4 = 8.

Площадь ромба:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (2 \cdot 0.8 \cdot 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40\]

Однако, если использовать формулу \(S = a^2 \cdot sin \alpha\), то:

\[tg \angle BCA = 0.8 = \frac{4}{5}\]

\[sin \angle BCA = \frac{4}{\sqrt{4^2 + 5^2}} = \frac{4}{\sqrt{41}}\]

Тогда \(sin \angle BCD = 2sin \angle BCA \cdot cos \angle BCA\)

Площадь ромба \(S = AB^2 \cdot sin \angle BCD\)

Правильнее будет воспользоваться формулой через высоту и сторону, где высота равна 9,6.

S=10*9,6 = 96