4. Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, ВС ВА = BD². Докажите, что ∠BAD = LBDC. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC: AD = 3: 2?

Пусть BD - биссектриса угла ABC, BC · BA = BD², DC : AD = 3 : 2.

Доказать: ∠BAD = ∠BDC.

Найти отношение площадей четырехугольника, деленного диагональю BD.

Решение:

$$ \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{BA} $$.

Угол B - общий, следовательно, треугольники BCD и BDA подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует равенство углов: ∠BAD = ∠BDC.

$$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}$$.

$$ \frac{DC}{AD} = \frac{3}{2} $$. Отношение высот $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{3}{2} $$.

$$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 $$

$$ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_1 $$

$$ \frac{S_{ABD}}{S_{BCD}} = \frac{\frac{1}{2} AD \cdot h_2}{\frac{1}{2} DC \cdot h_1} = \frac{AD}{DC} \cdot \frac{h_2}{h_1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} $$.

Площадь ABCD делится диагональю BD в отношении 4:9.

Ответ: $$S_{ABD} : S_{BCD} = 4:9$$