5. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что ДАВК ~ ДАВС. Найдите АК, КС, ВК, если известно, чт АВ: BC: AC = = 3 : 7 : 9, а периметр треугольника АВС равен 57 см.

Дано: ΔABK ~ ΔABC, AB : BC : AC = 3 : 7 : 9, P(ABC) = 57 см.

Нужно найти: АК, КС, ВК.

Решение:

Пусть AB = 3x, BC = 7x, AC = 9x.

P(ABC) = AB + BC + AC = 3x + 7x + 9x = 19x = 57 см.

Отсюда x = 57 / 19 = 3.

AB = 3 * 3 = 9 см, BC = 7 * 3 = 21 см, AC = 9 * 3 = 27 см.

ΔABK ~ ΔABC. Следовательно, $$ \frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{BC} $$.

$$ \frac{9}{27} = \frac{AK}{9} $$, $$ AK = \frac{9 \cdot 9}{27} = 3 \text{ см} $$.

KC = AC - AK = 27 - 3 = 24 см.

$$ \frac{9}{27} = \frac{BK}{21} $$, $$ BK = \frac{9 \cdot 21}{27} = 7 \text{ см} $$.

Ответ: AK = 3 см, KC = 24 см, BK = 7 см.