17. Диагональ BD параллелограмма АВСD об- разует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограм- ма.

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с его сторонами углы ∠ABD = 65° и ∠CDB = 50°.

∠ADC = ∠ADB + ∠CDB

∠ADB = 180° - (∠ABD + ∠BAD) = 180° - ∠ABD - ∠BAD

Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то ∠A + ∠D = 180°.

∠ABC = ∠ADC

Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180°

∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 65° - ∠A = 115° - ∠A

∠CDB = 50° (дано)

∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 115° - ∠A + 50° = 165° - ∠A

∠A + ∠ADC = 180°

∠A + 165° - ∠A = 180°

∠A + 165° - ∠A = 180°

2∠A = 180° - 165° = 15°

∠A = 15°

∠A = 180° - 165° = 15°

∠D = 180° - ∠A = 180° - 15° = 165°

∠ABC = ∠ADC = 165° - ∠A

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

∠A + ∠D = 180°

Пусть ∠ABD = 65°, ∠CDB = 50°.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC

∠BCD = ∠BDA

∠ADB = 180° - 65° - ∠A = 115° - ∠A

∠D = ∠ADB + ∠CDB

∠A + ∠D = 180°

∠A + (65 + 50) = 180°

∠A + 115 = 180°

∠A = 180 - 115 = 65

∠A = 65°

∠D = 50° + 65° = 115°

Сумма углов = 180°. То есть углы 65° + 50° + угол A = 180°. Угол A = 180 - 65 -50 = 65°.

∠A = 65°

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65