Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Дано:

Диагональ осевого сечения \( d = 48 \) см.

Угол между диагональю и образующей \( \alpha = 60^\circ \).

Найти:

а) Высоту цилиндра \( h \).

б) Радиус цилиндра \( r \).

в) Площадь основания \( S_{осн} \).

Решение:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Угол между диагональю и образующей — это один из острых углов этого треугольника.

а) Высота цилиндра \( h \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \).

\[ h = d × \sin(\alpha) \]\[ h = 48 \times \sin(60^\circ) \]\[ h = 48 × \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ h = 24\sqrt{3} \] см.

б) Радиус цилиндра \( r \) связан с диаметром осевого сечения. Диаметр осевого сечения \( D_{осн} \) является катетом, прилежащим к углу \( \alpha \).

\[ D_{осн} = d × \cos(\alpha) \]\[ D_{осн} = 48 × \cos(60^\circ) \]\[ D_{осн} = 48 × \frac{1}{2} \]\[ D_{осн} = 24 \] см.

Радиус \( r = \frac{D_{осн}}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) см.

в) Площадь основания цилиндра — это площадь круга с радиусом \( r \).

\[ S_{осн} = \pi r^2 \]\[ S_{осн} = \pi × 12^2 \]\[ S_{осн} = 144\pi \] см².

Ответ: а) высота цилиндра равна \( 24\sqrt{3} \) см; б) радиус цилиндра равен 12 см; в) площадь основания цилиндра равна \( 144\pi \) см².