4. Диагональ основания правильной пирамиды МАВСД равна 6, а высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит квадрат. Диагональ квадрата связана со стороной соотношением (d = a\sqrt{2}\), где (d) - диагональ, а (a) - сторона квадрата. Отсюда найдем сторону основания: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\] Центр основания (точка пересечения диагоналей) является основанием высоты пирамиды. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (апофема) может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Обозначим апофему за (l). Тогда \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{16 + 4.5} = \sqrt{20.5}\] Площадь одной боковой грани равна \[S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{20.5} = \frac{3}{2} \sqrt{41}\] Так как в основании квадрат, то боковых граней 4. Площадь боковой поверхности равна \[S_{бок} = 4 S_{грани} = 4 \cdot \frac{3}{2} \sqrt{41} = 6 \sqrt{41}\] Ответ: (6\sqrt{41})